На церемонији отварања Олимпијских игара, у квадратну шему 50×50 поређано је 2500 учесника различите старости. За сваку колону одредимо најстаријег учесника који се у њој налази, а затим најмлађег од тих 50 људи – нека је то Мина. Затим, за сваку врсту одредимо најмлађег од учесника који се у њој налази, а затим најстаријег од тих 50 људи – нека је то Макс. Може ли се утврдити ко је старији од ово двоје учесника – Мина или Макс? Решење детаљно образложити.
На такмичењу из рачунарства и информатике било је 5 задатака. Сви задаци су били различите тежине, па је сваки носио различит број бодова, при чему је сваки од тих бројева био природан број.
Такмичар који је тачно урадио само два најлакша задатка имао је 10 бодова, а такмичар који је тачно урадио само два најтежа задатка имао је 18 бодова. Колико бодова је имао такмичар који је тачно урадио свих 5 задатака?
У зачараној мочвари живи 6 рода, 55 жаба и 17 скакаваца. Роде могу да једу и жабе и скакавце, а жабе могу да једу само скакавце. Припадници исте врсте не могу да једу једни друге. Међутим, како је мочвара зачарана, кад рода поједе жабу, она се претвори у скакавца; кад рода поједе скакавца, она се претвори у жабу; кад жаба поједе скакавца, она се претвори у роду.
Колики је највећи број ових животиња које могу опстати у мочвари, а да не постоји могућност да једна другу поједе?
Аутобиографија нам изгледа нелогично зато што бројевима наведеним у њој прилазимо са становишта за нас уобичајеног декадног бројног система. Међутим, у овој „математичкој“ аутобиографији бројеви су писани у неком другом, недесетичном бројном систему. Најпре би требало утврдити о ком бројном систему се овде ради.
Будући да се у свим наведеним бројевима појављују цифре мање од 5, закључујемо да основа тог бројног система може бити неки од бројева већих или једнаких 5. Кључ за дешифровање лежи у крају прве и почетку друге реченице : „…исте године сам уписао факултет, који сам завршио у 44. години живота. После годину дана, као младић од 100 година оженио сам се…“. Дакле, када се броју 44 дода јединица добија се 100, то јест 44+1=100, што значи да је у том бројном систему цифра 4 највећа. Ова једнакост је исправна једино у систему са основом пет, па закључујемо да је математичар све бројеве у аутобиографији записивао у петичном бројном систему.
Сада није тешко да све остале бројеве преведемо у декадни бројни систем: 335=3∙5+3=18; 445=4∙5+4=24; 1005=1∙52=25; 345=3∙5+4=19; 115=1∙5+1=6; 45=4; 105=1∙51=5; 3025=3∙52+0∙5+2=77; 35=3; 15=1; 310305=3∙54+1∙53+0∙52+3∙51+0=1875+125+0+15+0=2015.
Према томе, наведени одломак аутобиографије заправо гласи:
„Завршио сам средњу школу као 18-годишњи младић и исте године сам уписао факултет, који сам завршио у 24. години живота. После годину дана, као младић од 25 година оженио сам се 19-годишњом девојком. Сматрам да је разлика у годинама супружника од 6 година, баш као наша, идеална за складну и срећну породицу. Већ после 4 године имали смо 5 деце. И сада, као пензионер од 77 година, јасно се сећам радости и стрепње која ме је обузела када су ми јавили да је супруга на трећем порођају једини пут родила близанце – дечака и девојчицу…
…Данас се све мање бавим математиком. Пензионерске дане углавном проводим на плацу који ми је од стана удаљен 6 километара. Када је леп дан ово растојање прелазим полако, пешице за 1 сат, а бициклом за непуних 25 минута.“
Математичка секција користи овај задатак да вам пожели
срећну и успешну Нову 2015. годину!
Прича се да је у списима једног математичара пронађена аутобиографија у којој он, између осталог, пише:
„Завршио сам средњу школу као 33-годишњи младић и исте године сам уписао факултет, који сам завршио у 44. години живота. После годину дана, као младић од 100 година оженио сам се 34-годишњом девојком. Сматрам да је разлика у годинама супружника од 11 година, баш као наша, идеална за складну и срећну породицу. Већ после 4 године имали смо 10 деце. И сада, као пензионер од 302 године, јасно се сећам радости и стрепње која ме је обузела када су ми јавили да је супруга на трећем порођају једини пут родила близанце – дечака и девојчицу…
…Данас се све мање бавим математиком. Пензионерске дане углавном проводим на плацу који ми је од стана удаљен 11 километара. Када је леп дан ово растојање прелазим полако, пешице за 1 сат, а бициклом за непуних 100 минута.“
Необична аутобиографија, зар не? Како ћете објаснити очигледне нелогичности у овом задатку и како би наведени одломак аутобиографије заиста требало да гласи?
Математичка секција користи овај задатак да вам
пожели срећну и успешну Нову 31030. годину!
У Малом краљевству срећним разломком сматрају сваки прави разломак чији је именилац једноцифрен број. Одредити све срећне разломке веће од 7/9, а мање од 8/9.
На паковању пуномасног сира стоји да садржи 24% млечне масти и да садржи 45% млечне масти у сувој материји. Одредити садржај воде у безмасној материји овог сира, заокружен на цео број процената. Користећи добијени резултат, класификовати сир према тврдоћи, а на основу Правилника о квалитету производа од млека и стартер култура (Сл. гласник РС бр. 33/2010).
Петоро ученика, при чему је сваки из различитог града Србије, дошли су у Београд на такмичење из математике.
– „Одакле сте?“ – упита их Марко, такмичар из Београда.
Ево шта је свако од њих одговорио.
– Бранко: „Катарина је из Чачка, а ја сам из Новог Сада“.
– Јелена: „Ја сам из Новог Сада, а Катарина је из Ниша“.
– Катарина: „Ја сам стварно из Ниша, а у Новом Саду живи Саша“.
– Оливера: „У Ужицу живи Бранко, а Јелена је из Чачка“.
– Саша: „Ја сам дошао из Врања, а Јелена живи у Ужицу“.
Такмичари су намерно у својим изјавама рекли по једну истину и једну лаж. Међутим, Марко је добар логичар, па му није било тешко да одреди из ког града је који такмичар. Покушајте и ви то да сазнате. Обавезно образложите како сте дошли до решења!
За постојање сваког од нас одговорни су наши родитељи, али и родитељи наших родитеља, па њихови родитељи итд. Крећући се тако стаблом нашег живота, закључујемо да су у првој линији наших предака за наше постојање одговорне две особе (наши родитељи), већ у другој линији ову групу чини 6 људи (наши родитељи и њихови родитељи), а ако укључимо и трећу генерацију, ту је већ њих 14… Са сваком новом генерацијом овај скуп наших директних предака експоненцијално расте. Ту, наравно, не спадају браћа од стричева, тетке и други узгредни рођаци, већ само родитељи родитеља у линији која неумољиво води до сваког од нас. 
Почев од које генерације директних предака сваког од нас њихов укупан број превазилази број људи који су икада живели на Земљи? Да ли је то могуће? Објасните овај парадокс!
Жали се продавац полицајцу:
„Малочас је у моју радњу ушао један младић да купи хемијску оловку од 18 динара. Дао ми је новчаницу од 50 динара, али како нисам имао ситнине да му вратим кусур, послао сам оних 50 динара да се размени у суседној радњи. Добивши оловку и кусур младић је отишао. Неколико тренутака после тога дотрчао је узбуђени пословођа суседне радње и рекао да је новчаница коју ми је разменио била лажна. Наравно, морао сам му је заменити за праву.
Као што видите, онај младић ме је преварио и ја сам изгубио укупно 118 динара: прво, дао сам му хемијску оловку вредну 18 динара; друго, за фалсификовану новчаницу од 50 динара морао сам дати праву; затим, дао сам оном младићу 32 динара кусура и, на крају, губитак су још и оних 18 динара преосталих од фалсификоване новчанице“.
Да ли је продавац у праву? Колико је он стварно изгубио?
Математичка секција Четврте гимназије у Београду 