Решење двадесетог недељног задатка – Подела имања

    Како је сваки паралелограм централносиметрична фигура, то значи да свака права која садржи његов центар симетрије – пресек дијагонала, дели тај паралелограм на два подударна, централносиметрична многоугла, који самим тим имају и једнаке површине. Овај резултат важи и за правоугаоник, као специјални случај паралелограма, па ћемо га искористити при подели посматраног имања.

    Допунимо шестоугао ABCDEF до правоугаоника ABMF и означимо са P и Q, тим редом, пресеке дијагонала правоугаоника DCME и ABMF. Како права PQ садржи центре симетрија правоугаоника DCME и ABMF, сваки од њих ће овом правом бити подељен на два подударна многоугла. Дакле, важи да су парови одговарајућих четвороуглова DKJE и MJKC, као и ALJF и MJLB, међусобно подударни, па самим тим и једнаких површина.

    Докажимо да је права PQ уједно и права по којој би требало поделити посматрано имање, шестоугао ABCDEF, на два дела једнаких површина. Заиста,

P_ALKDEF = P_ALJF – P_DKJE = P_MJLB – P_MJKC = P_KLBC,

    Овим смо доказали да је PQ тражена права.

 

    Приметимо, да би фигура у облику слова „L“ могла да се подели праволинијски на два дела једнаких површина, без мерења дужина и површина, још на два начина. Дати шестоугао може се поделити на два правоугаоника, па би тражена права била одређена пресеком дијагонала ових правоугаоника, као у претходном случају. Међутим, за посматрани шестоугао, на тај начин би настала 3 дела, па таква подела у овом случају није могућа.

Решење деветнаестог недељног задатка – Пица мајстор и маслине

    Означимо делове пице (кружне исечке) бројевима од 1 до 6. Нека је S збир одговарајућих бројева исечака на којима се налазе маслине, при чему се један број рачуна онолико пута колико се маслина налази на одговарајућем исечку. На почетку, пре првог потеза, овај број износи

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

    При сваком потезу, то јест истовременом премештању 2 маслине на суседне делове пице, овај збир може да се увећа за 2, смањи за 2 или остане непромењен. Међутим, у сваком од ових случајева парност броја S остаје непромењена, то јест број S остаје непаран број.

    Са друге стране, уколико би све маслине биле на истом парчету пице, на пример неком који је означен бројем a (1 ≤ a ≤ 6), онда би било S=6a, то јест S би био паран број, што је у овако формулисаном задатку немогуће.

    Дакле, пица мајстор не може оваквим потезима преместити све маслине на исто парче пице

Решење осамнаестог недељног задатка – Тврђава деспота Троугловића

    Означимо са a страницу малог црног троугла – куле. Како таквих кула има укупно 27 на плану тврђаве, њихова укупна површина ће износити    У том случају страница великог једнакостраничног троугла – тврђаве износи 8a, па је површина читавог имања на коме се тврђава налази

    Укупна површина паркова је тада

па је однос површине грађевина према површини паркова на имању које заузима тврђава

    Проценат имања које заузимају паркови износи

    Дакле, однос површине грађевина према површини паркова на имању које заузима тврђава је 27:37, а проценат који заузимају паркови на овом имању, заокружен на најближи цео број, износи 58%.

Решење седамнаестог недељног задатка – Три аласа

    Задатак представља незнатну модификацију познатог Дираковог проблема о три рибара. Пол Дирак (Paul Adrien Maurice Dirac; 1902.-1984.) био је познати британски физичар и математичар, заједно са Шредингером добитник Нобелове награде за физику 1933. године, „за откриће нових продуктивних форми атомске теорије“. Теоријски је закључио да постоје античестице „антиелектрони“ (позитивно наелектрисани електрони, који су касније названи позитрони). До овог открића дошао је захваљујући чврстом убеђењу у исправност математичких резултата, чак и у ситуацији кад ти резултати нису имали физичког смисла.

    Можемо рећи да су корени Дираковог научног рада и његовог апстрактног и „слободног“ мишљења управо у овом задатку, чије је решење понудио још као дете. Наиме, Дираков одговор је био: „Било је уловљено минус две рибе“. Без великих потешкоћа можемо показати да је у овако смелом одговору формално све исправно, иако нема физичког смисла (осим ако не претпоставимо постојање „антирибе“!?). Наиме, први рибар, закључивши да има минус две рибе, једну рибу „баца“ у реку, и од преостале минус три рибе узима једну трећину, то јест минус једну рибу, након чега поново остају минус две рибе. На исти начин поступају и преостала два рибара.

    Вратимо се сада на решења овог задатка која имају физичког смисла. Означимо са n укупан број упецаних риба, а са n_k (k=1, 2, 3) број риба које је однео k-ти рибар. Тада је:

при чему су бројеви n, n₁, n₂ и n₃ природни бројеви. Овако постављен систем од три линеарне једначине са 4 непознате има бесконачно много решења која задовољавају услове задатка.

        Посматрајмо последњу линеарну једначину са две непознате

и нађимо њено најмање природно решење n₃ које испуњава услов да су n, али и n₂ и n₃ такође природни бројеви. Приметимо да су n и n₃ директно зависни, то јест што је n₃ мањи, то је и n мањи, и обратно.

    За n₃=1 добијамо једначину 4n =27+19=46, чије решење није природан број.

    За n₃=2 добијамо једначину 4n=54+19=73, која такође нема природно решење.

    За n₃=3 добијамо једначину 4n=81+19=100, чије је решење природан број n=25. При томе за n=25, следи да је n₁=8 и n₂=5, што задовољава услове задатка.

    Дакле, најмањи број риба које су упецала ова тројица аласа је 25, при чему је први од њих однео 8, други 5, а трећи 3 рибе.

    Дираков проблем можемо посматрати и уопштено, а за решавање овако формулисаног проблема неопходно је направити математички модел у облику диференцне једначине.

Решење шеснаестог недељног задатка – Тајанствени глумац

    Како је овај глумац рођен у XX веку и како је 1995. године напунио онолико година колики је збир цифара његове године рођења, закључујемо да је рођен 19xy године, при чему су x и y једноцифрени бројеви. На основу услова задатка постављамо линеарну једначину са две непознате x и y:

1995 − (1900 + 10x + y) =1 + 9 + x + y, при чему је 0 ≤ x, y ≤ 9.

    Сређивањем ове једначине долазимо до еквивалентне једначине 11x + 2y = 85. Како је збир непаран, закључујемо да први сабирак 11x мора бити непаран (пошто је 2y паран), па је и x непаран број. Једини једноцифрен непаран број који задовољава услове задатка је x=7, јер би у свим осталим случајевима број y био или двоцифрен или негативан, што је немогуће. Онда је y=4. Коначно, тајанствени глумац је рођен 1974. године, а 1995. године је напунио 21 годину.

    Остаје да откријемо о ком глумцу је реч. Те 1995. године, одиграна је премијера представе „Вартоломејски вашар“ у Југословенском драмском позоришту. Увидом у глумачку поделу, долазимо до податка да су два глумца која су играла у тој представи рођена 1974. године, али је само један од њих данас члан Југословенског драмског позоришта – то је Никола Ђуричко. Познати глумац је те године снимао другу сезону култне телевизијске серије „Отворена врата“.

Решење петнаестог недељног задатка – Још један загонетни рођендан

    Марија је у праву једино ако се овај разговор води 1. јануара, а она је рођена 31. децембра.

    Заиста, Марија је прекјуче, 30. децембра, још увек имала 15 година,а јуче, 31. децембра, напунила је 16. Ове године (31. децембра) ће напунити 17, а следеће године (31. децембра) ће имати 18 година.

Решење четрнаестог недељног задатка – Загонетни рођендан

    Све што Алекса зна је месец Сањиног рођења, а како сваки месец има више могућих дана, Алекса на почетку разговора не може утврдити тачан датум. Међутим, након његове констатације да зна да тачан датум не зна ни Бранко, закључујемо да, будући да зна месец, у овом месецу нема ниједног датума који би Бранка директно довео до одговора. То би на датом списку била два дана – 18 или 19, тачније 18. јун или 19. мај. Стога закључујемо да месеци Сањиног рођења нису ни мај, ни јун, јер се у њима појављују ови јединствени датуми.

    Када је Бранко закључио да је Сања рекла Алекси један од два месеца – јул или август, овај податак му је био довољан да дође до тачног датума. То значи да се број (дан) који му је речен појављује само једном у ова два месеца. Због тога искључујемо број 14, јер се он појављује и јулу и у августу.

    Међутим, на крају и Алекса зна тачан датум Сањиног рођења. Будући да Алекса зна месец, у преостала три датума: 16. јул, 15. август и 17. август, тај месец се појављује само једном. То је јул, па је датум Сањиног рођења 16. јул. Заиста, да је Сања рекла Алекси август, он не би могао да изведе закључак који од два преостала датума је прави.

    Дакле, Сањин рођендан је 16. јула.

Решење тринаестог недељног задатка – Пражњење базена

    Означићемо са b количину воде која се налази у базену, са k количину воде која исцури кроз један испуст базена, са d допуну воде за један дан и са x број дана потребних да се испразни базен ако је константно отворен само један испуст.

    Према условима задатка важи следећи систем од две једначине са три непознате:

b + d = 183k

b + 5d = 37 ∙ 5k = 185k

    Ако од друге једначине одузмемо прву, добијамо да је 4d = 2k, то јест d = 0,5k. Заменом d у првој једначини система, израчунавамо b = 182,5k.

    Добијене изразе заменићемо у једначини

xk = b + xd,

која се добија за константно отворен тачно један испуст.

    Биће:

xk = 182,5k + x∙0,5k

    Множењем последње једначине са 2 и дељењем са k (k>0), једначина постаје

2x = 365 + x,

то јест x = 365.

    Дакле, ако је константно отворен само један испуст, базен ће се испразнити за 365 дана.

Решење дванаестог недељног задатка – Лакомислени крадљивци

    Крадљивци су лакомислено закључили да је лозинка за улазак у замак половина броја који стражар изрекне. Стога је први крадљивац био збуњен када му је стражар изговорио: „Пет“, јер половина броја пет није целобројна, док је други крадљивац на питање: „Дванаест?“ убедљиво одговорио: „Шест“, што није био тачан одговор.

    Лозинка за „Пет“ је требало да буде „Три“, док је на питање „Дванаест?“ требало одговорити „Осам“.

    Тражена шифра заправо представља број слова у изреченом броју!

Решење једанаестог недељног задатка – Вране са гране

    Нека је v број врана, а g број грана. На основу услова задатка можемо да поставимо систем две једначине са две непознате:

v = 6 ∙ (g – 1)
v = 5g + 1

    Решавањем овог система, на пример методом замене, систем постаје еквивалентан систему:

5g + 1 = 6 ∙ (g – 1)
v = 5g + 1,

чије је решење g = 7 и v = 36.

    Дакле, било је 36 врана и 7 грана.